Question

已知函数f(x)=1/(2ax²)+2x（a≠0），g（x）=lnx，

Answer 1

说下思路，计算自己搞定
（1）由题可知x>0，h'(x)=ax+2-1/x,h(x)存在单调增区间，说明h'(x)=ax+2-1/x>0在x>0中有解，
a>(1/x
-2)/x,即a大于F(x)=(1/x
-2)/x的最小值，求得F(x)=(1/x
-2)/x在x>0时的最小值即可。同样对F(x)
求导
求得
单调区间
即可知F(x)的最小值
（2）假设存在。令G(x)=g(x)/x-f'(x)+2a+1,根据题意说明G(x)=g(x)/x-f'(x)+2a+1=lnx/x-ax+2a-1在（1/e，e）有两个零点，即G'(x)=(1-lnx-ax^2)/x^2在（1/e，e）只有一个零点。令H(x)=1-lnx-ax^2,H'(x)=-1/x-2ax,又a>0，x区间为（1/e，e），所以H'(x)<0恒成立，即H(x)在（1/e，e）单调递减。令1/e<x1<x2<e,H(x1)>H(x2)，可知G'(x1)>G(x2)，即G'(x)在（1/e，e）单调递减。要使得G'(x)=(1-lnx-ax^2)/x^2在（1/e，e）只有一个零点，也就是G'(1/e)*G'(e)<0,求出a的
取值范围
即可。

Answer 2

(1)
h(x)
=
ax²/2
+
2x
-
lnx,
x
>
0
h'(x)
=
ax
+
2
-
1/x
=
(ax²
+
2x
-
1)/x
h(x)存在增区间，则存在x
>
0，使h'(x)
>(ax²
+
2x
-
1)/x
>
0
ax²
+
2x
-
1
>
0
(i)
a
>
0
ax²
+
2x
-
1为开口向上的抛物线，只要x足够大，总可以ax²
+
2x
-
1
>
0
(ii)
a
<
0
ax²
+
2x
-
1为开口向下的抛物线;
h'(x)
>
0,
则ax²
+
2x
-
1与x轴相交，且右交点的横坐标>
0
ax²
+
2x
-
1
=
0的较大解为[-1
+
√(a
+
1)]/a
>
0
a
<
0,
-1
+
√(a
+
1)
<
0
√(a
+
1)
<
1,
a
+
1
<
1
a
<
0
另外∆
=
4(a
+
1)
>
0,
a
>
-1
结合(i)(ii):
a
>
0或-1
<
a
<
0
(2)
这个没有向原来想像地那么容易。
f'(x)
=
ax
+
2
(lnx)/x
=
ax
+
2
-
(2a
+
1)
=
ax
+
1
-
2a
lnx
=
ax²
+
(1
-
2a)x
F(x)
=
ax²
+
(1
-
2a)x
-
lnx
F'(x)
=
2ax
+
(1
-
2a)
-
1/x
=
[2ax²
+
(1
-
2a)x
-
1]/x
要使原方程在(1/e,
e)内有两个不同的根，须同时满足下列条件:
(i)
F(x)在(1/e,
e)内有极值(不妨称此时x
=
m)
(ii)
F(1/e)和F(e)同号
(iii)
F(e)和F(m)异号
(I)
F(x)在(1/e,
e)内有极值
2ax²
+
(1
-
2a)x
-
1
=
0
∆
=
(1
-
2a)²
+
8a
=
(1
+
2a)²
x
=
[2a
-
1
±√(1
+
2a)²]/(4a)
=
[(2a
-
1)
±
(2a
+
1)]/(4a)
x₁
=
-1/(2a)
<
0,
舍去
x₂
=
1在(1/e,
e)内
第一个条件满足
F(1)
=
1
-
a
显然,
x
>
1,
F'(x)
>
0
0
<
x
<
1,
F'(x)
<
0
F(1)为最小值,
须1
-
a
<
0,
a
>
1
(i)
(II)
F(1/e)
=
a/e²
+
(1
-
2a)/e
+
1
=
(a
+
e
-
2ea
+
e²)/e²
>
0
a
+
e
-
2ea
+
e²
>
0
a
<
e(e
+
1)/(2e
-
1)
(约为2.3)
(ii)
F(e)
=
e²a
+
e
-
2ea
-
1
>
0
a
>
(1
-
e)/(e²
-
2e)
<
0,
任何正数均可
(iii)
结合(i)(ii)(iii):
1
<
a
<
e(e
+
1)/(2e
-
1)

Answer 3

g(x)=f(x)-ax
f(x)=lnx
x^2
定义域为x＞0
g(x)=lnx
x^2-ax要满足其定义域内为增函数
那么g(x)的导数在定义域为x＞0恒大于等于0
g(x)导数=1/x
2x-a≥0
a≤1/x
2x
根据均值不等式1/x
2x≥2根号2
所以a要小于它的最小值2根号2
实数a的取值范围a≤2根号2
h(x)=x-3ax
h(x)的导数=3x-3a
令导数等于0
x=±根号a
所以h(x)在[-根号a
根号a]单调递减
a大于1又由第一问知道a≤2根号2
根号a在[1
2]范围内
f(x)极小值f(根号a)=0