Question

求过点（3,1，-2）且通过直线x-4/5=y+3/2=z/1的平面方程

Answer 1

平面过点(3,1,-2),又过点(4,-3,0)
所以平面垂直于向量(1,-4,2)
又直线(x-4)/5=(y+3)/2=z/1的方向向量是(5,2,1)
所以平面垂直于向量(5,2,1)
设平面的法向量为n=(a,b,c)
那么n*(1,-4,2)=0,n*(5,2,1)=0
那么平面的一个法向量是n=(-8,9,22)
所以平面的方程是-8(x-3)+9(y-1)+22(z+2)=0
即8x-9y-22z-59=0

Answer 2

在直线上取两点a（4，-3，0），b（-1，-5，-1），
由平面过p（3，1，-2）得平面内向量pa=（1，-4，2），pb=（-4，-6，1），
因此平面法向量取为
（8，-9，-22）（就是
pa×pb）
因此所求平面方程为
8(x-3)-9(y-1)-22(z+2)=0
，
即
8x-9y-22z-59=0
。