Question

求 (n+1)x^2n 的和函数 ，并求 级数 (n+1)/2^(n+1) 的和

Answer 1

简单计算一下，答案如图所示

Answer 2

所求为f(x)
x∈[0,1]，这样级数才收敛
那么
xf(x)
=
∑(n=1,∝)
x^(n+1)
/
[n(n+1)]
[
xf(x)
]
'=
∑(n=1,∝)
x^n/n
[
xf(x)
]
''
=
∑(n=1,∝)
x^(n-1)
=
1/(1-x)
x∈[0,1)
由二阶导积分得：
[
xf(x)
]
'
=
-
ln(1-x)
+
c1，当x=0时[xf(x)]'等于0所以c1=0
xf(x)
=
(1-x)ln(1-x)
-
(1-x)
+
c2当x=0时xf(x)等于0所以c2=1
所以xf(x)
=
(1-x)ln(1-x)
+x
f(x)
=[
(1-x)ln(1-x)
+
x
]
/x
∈(0,1)
当独求出f(0)
=
0,f(1)
=
1