Question

若a1,a2为齐次线性方程组Ax=0的基础解系，则

Answer 1

a1+a2,a2+a3,a3+a1证明是基础解系即证明a1+a2,a2+a3,a3+a1线性无关,设存在三个数b1,b2,b3使得b1(a1+a2)+b2(a2+a3)+b3(a3+a1)=0,
即
(
b1+b3)*a1+(b2+b1)a2+(b3+b2)a3=0
因为a1
a2
a3是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系则a1
a2
a3线性无关,
则
b1+b3=0；b2+b1=0；b3+b2=0；由克拉姆法则,则b1=b2=b3=0,
则a1+a2,a2+a3,a3+a1线性无关,故a1+a2,a2+a3,a3+a4也是Ax=0的一个基础解系.

Answer 2

证明:
因为
β1,β2,β3
是a1,a2,a3的线性组合
所以
β1,β2,β3
仍是
ax=0
的解.
又因为两个向量组的个数相同,
所以只需证β1,β2,β3线性无关.
(β1,β2,β3)=(a1,a2,a3)k
k
=
1
2
3
2
3
4
1
4
3
因为
|k|=4≠0,
所以
k
可逆.
所以
r(β1,β2,β3)=r[(a1,a2,a3)k]=r(a1,a2,a3)=3
所以
β1,β2,β3
线性无关.
故
β1,β2,β3
是ax=0
的基础解系.