Question

1的3次方加2的3次方加3的3次方一直加到100的3次方

Answer 1

1^3+2^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2所以1三次加2的三次方加3的三次方一直加到100的三次方=[100(100+1)/2]²=(50x101)²=5050²=25502500
因为1³+2³=（1+2）²=9
1³+2³=9
1³+2³+3³+4³=100
﹙1+2+3+4﹚²=100所以
推导出公式：1³+2³+3³+......+n³=﹙1+2+3+......+n﹚²

Answer 2

用数学归纳法。
S1=1^3=1^2
S2=1^3+2^3=9=3^2=(1+2)^2
S3=1^3+2^3+3^3=36=6^2=(1+2+3)^2
S4=1^3+2^3+3^3+4^3=100=10^2=(1+2+3+4)^2
S5=1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=15^2=(1+2+3+4+5)^2
假设当n=k时，有Sk=1^3+2^3+...+k^3=(1+2+...+k)^2
则当n=(k+1)时，
S(k+1)=Sk+ak=(1+2+...+k)^2+(k+1)^3
=[k(k+1)/2]^2+(k+1)^3
=(k+1)^2[k^2/4+k+1]
=(k+1)^2[(k^2+4k+4)/4]
=(k+1)^2(k+2)^2/4
=[(k+1)(k+2)/2]^2
=(1+2+...+k+1)^2
同样成立。
综上，得
1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2
所以当n=100时，就有
Sk=1^3+2^3+...+100^3=[100*(100+1)/2]^2=5050^2=25502500