Question

离散数学中的集合论里的关系有几种？怎么判定？

Answer 1

1，自反：R为A上的二元关系，若
对于任意的x，x属于集合A→<x,x>∈R，则称R在A上是自反的
2；对称：　数学上，若对所有的
a
和
b
属于
X，下述语句保持有效，则集合
X
上的二元关系
R
是对称的：「若
a
关系到
b，则
b
关系到
a。」
　　数学上表示为：
<math>\forall
a,
b
\in
X,\
a
R
b
\Rightarrow
\;
b
R
a</math>
　　例如：“和……结婚”是对称关系；“小于”不是对称关系。
　　对称关系不是反对称关系（aRb
且
bRa
得到
b
=
a）的反义。有些关系既是对称的又是反对称的，比如"等于"；有些关系既不是对称的也不是反对称的，比如整数的"整除"；有些关系是对称的但不是反对称的，比如"模
n
同余"；有些关系不是对称的但是反对称的，比如"小于"。
3传递：　在逻辑学和数学中，若对所有的
a，b，c
属于
X，下述语句保持有效，则集合
X
上的二元关系
R
是传递的：「若a
关系到
b
且
b
关系到
c，
则
a
关系到
c。」
　　数学上表示为：
　　<math>\forall
a,
b,
c
\in
X,\
a
R
b
\and
b
R
c
\;
\Rightarrow
a
R
c</math>
4反自反：
5反对称：　数学上，若对所有的
a
和
b
属于
X，下述语句保持有效，则集合
X
上的二元关系
R
是反对称的：「若对所有的
a
和
b
属于
X，若
a
关系到
b
且
b
关系到
a，则
a
=
b。」
　　数学上表示为：
　　<math>\forall
a,
b
\in
X,\
a
R
b
\and
b
R
a
\;
\Rightarrow
\;
a
=
b</math>
　　严格不等是反对称的；实际上
a
<
b
且
b
<
a
是不可能的，因此严格不等的反对称性是一种空虚的真(vacuously
true)。
　　注意，反对称关系不是对称关系（aRb
得到
bRa）的反义。有些关系既是对称的又是反对称的，比如"等于"；有些关系既不是对称的也不是反对称的，比如整数的"整除"；有些关系是对称的但不是反对称的，比如"模
n
同余"；有些关系不是对称的但是反对称的，比如"小于"。
　　满足传递性和自反性的反对称关系称为偏序关系。

Answer 2

[二元关系的知识点]
1、关系、关系矩阵与关系图
2、复合关系与逆关系
3、关系的性质（自反性、对称性、反对称性、传递性）
4、关系的闭包（自反闭包、对称闭包、传递闭包）
5、等价关系与等价类
6、偏序关系与哈斯图（Hasse）、极大/小元、最大/小元、上/下界、最小上界、最大下界
7、函数及其性质（单射、满射、双射）
8、复合函数与反函数
二元关系疑难解析
2．关系的性质及其判定
关系的性质既是对关系概念的加深理解与掌握，又是关系的闭包、等价关系、半序关系的基础。对于四种性质的判定，可以依据教材中P49上总结的规律。这其中对传递性的判定，难度稍大一点，这里要提及两点：一是不破坏传递性定义，可认为具有传递性。如空关系具有传递性，同时空关系具有对称性与反对称性，但是不具有自反性。另一点是介绍一种判定传递性的“跟踪法”，即若
，则
。如若
，则有
，且
。
3．关系的闭包
在理解掌握关系闭包概念的基础上，主要掌握闭包的求法。关键是熟记三个定理的结论：定理2
；定理3
；定理4的推论
。
4．半序关系及半序集中特殊元素的确定
理解与掌握半序关系与半序集概念的关键是哈斯图。哈斯图画法掌握了，对于确定任一子集的最大（小）元，极大（小）元也就容易了。这里要注意，最大（小）元与极大（小）元只能在子集内确定，而上界与下界可在子集之外的全集中确定，最小上界为所有上界中最小者，最小上界再小也不小于子集中的任一元素，可以与某一元素相等，最大下界也同样。
5．映射的概念与映射种类的判定
映射的种类主要指单射、满射、双射与非单非满射。判定的方法除定义外，可借助于关系图，而实数集的子集上的映射也可以利用直角坐标系表示进行，尤其是对各种初等函数。