Question

f(x)在[0,1]上单调不减，且f(0)>0,f(1)<1,证明x0属于（0，1），使得f(x0)=x0^2

Answer 1

也就是证明f(x)-x
=
x^3-x^2-x/2+1/4,
在（0，1/2）区间内与x轴有交点。
f(0)-0=1/4
f(1/2)-1/2=1/8-1/4=-1/8
又，f(x)-x=x^3-x^2-x/2+1/4是一个连续函数，
所以在（0,1/2）区间内肯定与x轴有交点。
即x0∈(0,1/2)使f(x0)=x0