离散数学 求证A∧(B∨C) = (A∧B)∨(A∧C)
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因为a⊕b
⇔(a-b)∪(b-a)
①
所以
(a⊕b)-c
⇔((a-b)∪(b-a)-c)
根据①
⇔(a-b-c)∪(b-a-c)
②
c-(a⊕b)
⇔c-(a-b)∪(b-a)
根据①
⇔c-(a-b)-(b-a)
⇔c∩(¬a∪b)∩(¬b∪a)
⇔((c∩¬a)∪(c∩b))∩(¬b∪a)
⇔((c∩¬a)∪(c∩b))∩¬b)∪(((c∩¬a)∪(c∩b))∩a)
⇔(c∩¬a∩¬b)∪(c∩b∩a)
⇔(c-a-b)∪(a∩b∩c)
③
所以
(a⊕b)⊕c
⇔((a⊕b)-c)∪(c-(a⊕b))
根据①做代换
⇔(a-b-c)∪(b-a-c)∪(c-a-b)∪(a∩b∩c)
而
a⊕(b⊕c)
⇔(a-b⊕c)∪(b⊕c-a)
根据①做代换
⇔(a-b-c)∪(a∩b∩c)∪(¬a∩b-c)∪(c-a-b)
分别根据③②做代换
显然两式等价
所以（a⊕b）⊕c=a⊕（b⊕c）结合律成立
⇔(a-b)∪(b-a)
①
所以
(a⊕b)-c
⇔((a-b)∪(b-a)-c)
根据①
⇔(a-b-c)∪(b-a-c)
②
c-(a⊕b)
⇔c-(a-b)∪(b-a)
根据①
⇔c-(a-b)-(b-a)
⇔c∩(¬a∪b)∩(¬b∪a)
⇔((c∩¬a)∪(c∩b))∩(¬b∪a)
⇔((c∩¬a)∪(c∩b))∩¬b)∪(((c∩¬a)∪(c∩b))∩a)
⇔(c∩¬a∩¬b)∪(c∩b∩a)
⇔(c-a-b)∪(a∩b∩c)
③
所以
(a⊕b)⊕c
⇔((a⊕b)-c)∪(c-(a⊕b))
根据①做代换
⇔(a-b-c)∪(b-a-c)∪(c-a-b)∪(a∩b∩c)
而
a⊕(b⊕c)
⇔(a-b⊕c)∪(b⊕c-a)
根据①做代换
⇔(a-b-c)∪(a∩b∩c)∪(¬a∩b-c)∪(c-a-b)
分别根据③②做代换
显然两式等价
所以（a⊕b）⊕c=a⊕（b⊕c）结合律成立
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