Question

已知f(x)=ax的平方+bx+c(a不等与0)，若函数f(x+1)与f(x)的图像关于y轴对称，求证；f(x+0.5)为偶函数。

Answer 1

f(x+1)=a(x+1)²+b(x+1)+c
=ax²+(2a+b)x+a+b+c
因函数f(x+1)与f(x)的图象关于y轴对称
则f(-x)=f(x+1)
=>ax²-bx+c=ax²+(2a+b)x+a+b+c
=>(2a+2b)x+a+b=0
故a+b=0
f(x+1/2)=a(x+1/2)²+b(x+1/2)+c
=ax²+(a+b)x+a/4+b/2+c（因a+b=0）
=ax²-a/4+c
故f(x+1/2)为偶函数

Answer 2

由题意f(-x)
=
f(x+1)把x换成x-0.5带入的f(-x+0.5)
=
f(x+0.5)，所以f(x+0.5)为偶函数。