Question

设F(x)=x(x-1)(x-2)(x-3),则方程F(x)的导数等于0的实根的个数是多少？

Answer 1

首先f'(x)=0是一个三次方程，他最多有三个实根
其次f(0)=f(1)=f(2)=f(3)=0
利用中值定理知道存在a,b,c依次属于(0,1),(1,2),(2,3)使得f'(a)=f'(b)=f'(c)=0
也就是已经存在了三个实根
所以所求恰好是3

Answer 2

这是考你罗尔定理的运用。
f(x)=（x-1）(x-2)(x-3)(x-4)
f(1)=0;
f(2)=0;
f(3)=0;
f(4)=0
∴在（1、2）内必然存在一个ξ1使f'(ξ1)=0
在（2、3）内必然存在一个ξ2使f'(ξ2)=0
在（3、4）内必然存在一个ξ3使f'(ξ3)=0
综上所得：存在三个使f'(x)等于0的数。