Question

已知a+b+c=0,求证[(a-b)/c+(b-c)/a+(c-a)/b)][c/(a-b)+a/(b-c)+b/(c-a)]=9

Answer 1

c=-a-b代入化简即可
(a-b)/c+(b-c)/a+(c-a)/b
=[(a-b)ab+(b-c)bc+(c-a)ca]/(abc)
=[(a^2
b
-
ab^2)+(b^2
c
-
bc^2)+(c^2
a-ca^2)]/(abc)
=[ab(a-b)+(b^2
c
-
a^2
c)
+
(c^2
a
-
c^2
b)]/(abc)
=(a-b)(ab-ac-bc+c^2)/(abc)
=-(a-b)(b-c)(c-a)/(abc).......(*)
设a-b=x,b-c=y,c-a=z,则x+y+z=0,
x-y=a-2b+c=-3b,y-z=b-2c+a=-3c,z-x=-3a
c/(a-b)+a/(b-c)+b/(c-a)
=[(y-z)/x+(z-x)/y+(x-y)/z](-1/3)
=-(x-y)(y-z)(z-x)/(xyz)
*
(-1/3).......(类似*的证明)
=-(-3a)(-3b)(-3c)*(-1/3)/[(a-b)(b-c)(c-a)]
=-9abc/[(a-b)(b-c)(c-a)]
故[(a-b)/c+(b-c)/a+(c-a)/b)][c/(a-b)+a/(b-c)+b/(c-a)]=9
思路其实就是分别化简两个式子,看起来挺复杂,写起来挺多,其实算一下就会发现第一个式子的形式看起来很好,同理算得第二个式子....没试过直接相乘和其他方法,感觉也可以做.

Answer 2

已知非零实数a,b,c满足a+b+c=0,求证：
求证9
[(a-b)/c+(b-c)/a+(c-a)/b][c/(a-b)+a/(b-c)+b/(c-a)]
=1+a(a-b)/[c(b-c)]+b(a-b)/[c(c-a)]+1+c(b-c)/[a(a-b)]+b(b-c)/[a(c-a)]+1+c(c-a)/[b(a-b)]+a(c-a)/[b(b-c)]
=3+a(a-b-c)/(bc)+c(c-b-a)/(ac)+b(b-a-c)/(ac)
[因a+b+c=0,
所以b+c=-a
a+b=-c
a+c=-b代入上式]
=3+2a^2/(bc)+2c^2/(ab)+2b^2/(ac)
=3+2(a^3+b^3+c^3)/(abc)
[因为a^3+b^3+c^3=a^3+b^3-(a+b)^3=(a+b)(a^2-ab+b^2）-（a+b)(a^2+b^2+2ab)=(a+b)(-3ab)=（-c）*（-3ab）=3abc
代入上式]
=3+2*3abc/(abc)=9