Question

级数∞∑(n=1)(2n-1)/2^n

Answer 1

1、本题的解答方法是：

a、先求导；然后，

b、然后利用公比小于1
的无穷项等比数列求和公式；最后，

c、再积分，得到答案。
2、这样解题的思想是：

一个无穷级数，在收敛域内，严格等于一个函数，这个函数就是和函数。

因为它们严格相等，所以，

同时求导，不影响它们的等同性；

同时定积分，也不影响它们的等同性（identity）。

有了上面的思想，一切求导再积分、积分后再求导，就顺理成章。
3、具体解答如下：

Answer 2

由于
Σ(n>=1)[(2n-1)/(2^n)]
=
Σ(n>=1)[n/2^(n-1)]
-
Σ(n>=1)[(1/2)^n]，
而
Σ(n>=1)[(1/2)^n]
=
1/[1-(1/2)]
-
1
=
……，
为求
Σ(n>=1)[n/2^(n-1)]
的和，做幂级数
f(x)
=
Σ(n>=1)[n(x/2)^(n-1)]，
利用逐项积分定理，得
　　　g(x)
=
∫[0,x]f(t)dt
　　=
Σ(n>=1)n∫[0,x][(t/2)^(n-1)]dt
=
2Σ(n>=1)[(x/2)^n]
　　=
2{1/[1-(x/2)]
-
1}
=
……，
求导，得
f(x)
的和函数
f(x)
=
……，
由此可得
Σ(n>=1)[n/2^(n-1)]
=
……，
……

Answer 3

简单计算一下即可，答案如图所示