Question

已知n正整数，（1）有n个整数它们的和等于0，积等于n，求证：n是4的倍数；

Answer 1

先看第一题：假设a1*a2……an=n，那么有a1+a2……+an=0，若n为奇数，则这n个数都是奇数，即有n个奇数之和为0（偶数），必有偶数个奇数，所以n为偶数，矛盾。所以n为偶数；再来分析，若a1，a2，……只有一个数为偶数，则n-1（是奇数）个奇数与一个偶数的和只能是奇数，所以矛盾。必有至少2个偶数，那么n至少是4的倍数。
第二题找出构造例子即可：
我们分情况构造：
1、
n=4*（2t），则可构造n个数为4t、2、-1*（4t+2）（这4t+4个数必有），还剩4t-4个数为1和-1对半；
2、
n=4*（2t+1），则可构造2（2t+1），-2，-1*2（2t+1），1*2（这4t+6个数必有），还剩4t-2个数1和-1对半即可

Answer 2

【1】
当全是奇数时，
N是奇数（奇数*奇数=奇数）
所以其和不为0（奇数+奇数=偶数，偶数+奇数=奇数）
所以必有偶数
当只有1个偶数时，
N是偶数（奇数*偶数=偶数）
所以其和不为0（偶数+奇数=奇数）
所以必有2个以上的偶数
所以可被4整除
【2】
设n=4k．当k为奇数时，
n=2·(-2k)·1^(3k-2)·(-1)^k，
而2，-2k，(3k-2)个1与k个-1共4k个数之和为零．
当k为偶数时，
n=(-2)(-2k)·1^(3k)·(-1)^(k-2)
而-2，-2k，3k个1与(k-2)个-1共4k个数之和为零