Question

当x→0时，lim（1/cosx）=? 为什么？

Answer 1

注意1/cosx在其定义域内是连续函数，而由连续函数的定义知
若f(x)在x=x0点连续，有lim
【x→x0】f(x)=f(x0)
简单理解就是如果函数在某一点连续，则在该点的极限存在，而且极限值等于函数值
对于本题，因为函数1/cosx在x=0点连续，所以在x→0时极限等于1/cosx在x=0点的函数值，即
lim【x→0】(1/cosx)=1/cos0=1
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Answer 2

利用等价无穷小替换会简单些
当x→0时，有x~sinx
所以原式
=lim
[√(1+xsinx)-cosx]÷(x/2)²
=lim
(1+xsinx-cos²x)÷
{(x²/4)[√(1+xsinx)+cosx]}
=2lim
[sinx(x+sinx)]÷
(x²)
=2lim
(x+sinx)÷x
=2×2
=4
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