Question

函数是怎样构造出来的，方法为微分方程求解原函数

Answer 1

目前最高难度的我只接触到二阶常系数非齐次线性方程。更难的需要工科兄弟们补充了，文科甚至理科已经无能为力。
首先是1阶微分方程。这是最简单的形式。
1阶微分方程分为3种类型：
类型一：可分离变量的微分方程，它的形式如下：
dx/x=dy/y
总之是可以把x和y分开并且x与ds放到一边，y与dy放到等号另一边。
这种微分方程是可以直接积分求解的，
∫dx/x
=
∫dy/y
=>
ln|x|
=
ln|y|
+
lnc
c是任意常数。永远要知道的是，微分方程有多少阶，就有多少个任意常数。一阶微分方程只有一个任意常数c。
类型二：齐次微分方程
这样的微分方程的特点是(x^2+y^2)dx=(xy)dy括号内的项次数都相同。这个式子里括号内的次数都是2次。它是可以转化为第一种类型来求解的。转化的方法是设u=y/x，把原式的未知项都变成y/x的形式：（x/y
+
y/x)=dy/dx，然后代入u=y/x（注意：y=ux,
因此dy/dx=xdu/dx
+
u。这个也要代入），然后按照可分离变量类型的齐次方程求解。
类型三：一阶线性方程
一阶线性方程的特点是形式为y'+p(x)y=q(x)，其中p(x)和q(x)都是x的函数。它主要是公式法求解。公式为y=[exp-∫p(x)dx]{∫q(x)[exp∫p(x)dx]dx}
二阶微分方程就更复杂了，3种形式的通解，3种形式的特解，特解里面还要考虑3种不同形式的未知项，所以在此不阐述。