Question

已知扇形面积为25，当扇形的圆心角为多大时，扇形的周长取最小值？

Answer 1

解：设半径是x，弧长是L
则由S=1/2Lx=25，得L=50/x
所以周长C=2x+50/x
Cx=2x²+50
2x²-Cx+50=0
因x有解
所以△=C²-4*2*50≥0，
即C²≥400
C≥20,（取正）
当C取最小值20时
2x²-20x+50=0
x²-10x+25=0
（x-5）²=0
x=5
此时扇形的圆心角为L/x=（50/x）/x=（50/5）/5=2弧度
即当扇形的圆心角为2弧度时，扇形的周长取最小值20
【当然，也可用两个正数a，b，a+b≥√ab，即C=2x+50/x≥2√（2x*50/x）=20
，当且仅当2x=50/x，x=5时取等号求得】

Answer 2

要用均值不等式，请问楼主学过没？