判断瑕积分∫dx/(x½·lnx)(x属于0,1)的收敛性
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0是瑕点，因为x--->0时函数无穷大。
x-->1时，函数极限存在，lnx/(1-x)用洛必达法则易得极限为-1，因此x=1为可去间断点，可去间断点不算瑕点。
瑕点就是函数的第二类间断点。第一类间断点不影响函数的可积性，不算瑕点。
x-->1时，函数极限存在，lnx/(1-x)用洛必达法则易得极限为-1，因此x=1为可去间断点，可去间断点不算瑕点。
瑕点就是函数的第二类间断点。第一类间断点不影响函数的可积性，不算瑕点。
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2020-07-03 广告
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解：∫(0,1)lnx/(1-x)dx=
令y=1-x，则dx=-dy
∫(1,0)ln(1-y)/y*(-dy)=
∫(0,1)ln(1-y)/y*dy
考虑用级数法，由于
ln(1+u)=u-u²/2+u³/3-……
故
ln(1-y)=-y-y²/2-y³/3-……
ln(1-y)/y=-1-y/2-y²/3-y³/4-……
于是
原积分=∫(0,1)ln(1-y)/y*dy=
-∫(0,1)(1+y/2+y²/3+y³/4+……)dy=
-(1/1²+1/2²+1/3²+1/4²+……)
=-π²/6
令y=1-x，则dx=-dy
∫(1,0)ln(1-y)/y*(-dy)=
∫(0,1)ln(1-y)/y*dy
考虑用级数法，由于
ln(1+u)=u-u²/2+u³/3-……
故
ln(1-y)=-y-y²/2-y³/3-……
ln(1-y)/y=-1-y/2-y²/3-y³/4-……
于是
原积分=∫(0,1)ln(1-y)/y*dy=
-∫(0,1)(1+y/2+y²/3+y³/4+……)dy=
-(1/1²+1/2²+1/3²+1/4²+……)
=-π²/6
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