Question

已知函数f(x)=2/3x^3-2ax^2-3x,(a∈R)，讨论y=f（x）在（-1，1）内的极值点的个数。

Answer 1

求导，找导函数的零点，再检验导函数的零点是否就是极值点。

Answer 2

令f’(x)=2X^2-4aX-3=0得2X^2=4aX+3

结合图形，可得当a>1/4或a<-1/4原函数有一个极值点

当a∈【-1/4,1/4】时无极值点

Answer 3

解：f(x)的导数 f'(x)=2x²-4ax-3
故△=(-4a)²-4*2*(-3)=16a²+24＞0，且f'(x)开口向上。

（1）当y=f(x)，在(-1,1)内有一个极值点时，则会有
f'(-1)*f'(1)<0， 即(4a-1)(-4a-1)<0
解得a<-1/4或a>1/4.

（2）当y=f(x)，在(-1,1)内有两个极值点时，则会有
f'(-1)>0，且f'(1)>0，即
4a-1>0，且-4a-1>0，即a无解，
故不可能有两个极值点.

（3）当y=f(x)，在(-1,1)内没有极值点时，则会有
f'(-1)<0，且f'(1)<0，即
4a-1<0，且-4a-1<0，即
a<1/4，且a>-1/4，取交，即
-1/4<a<1/4

综上（1）（2）（3）所述，
当a∈(-∞,-1/4)∪(1/4,+∞)时，y=f（x）在(-1,1)内有1个极值点；

当a∈(-1/4,1/4)时，y=f（x）在(-1,1)内没有极值点。