Question

已知O为坐标原点，点E、F的坐标分别为（-2，0）、（2，0），点A、N满足AE...

已知O为坐标原点，点E、F的坐标分别为（-2，0）、（2，0），点A、N满足AE=23，ON=12(OA+OF)，过点N且垂直于AF的直线交线段AE于点M，设点M的轨迹为C． （1）求轨迹C的方程； （2）若轨迹C上存在两点P和Q关于直线l：y=k（x+1）（k≠0）对称，求k的取值范围； （3）在（2）的条件下，设直线l与轨迹C交于不同的两点R、S，对点B（1，0）和向量a=（-3，3k），求BR•BS-|a|2取最大值时直线l的方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵ON=12(OA+OF)，
∴N为AF中点．
∴MN垂直平分AF．
∴|MA|=|MF|．
∴|ME|+|MF|=|MA|+|ME|=|AE|=23＞|EF|．
∴点M的轨迹C是以正E、F为焦点的椭圆．…（2分）
∴长半轴a=3，半焦距c=2，
∴b2=a2-c2=1．
∴点M的轨迹方程为x23+y2=1．…（2分）
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点T（x0，y0）．
由x123+y12=1 x223+y22=1 两式相减可得，13(x1+x2)(x1-x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0
∴y1-y2x1-x2=-13x1+x2y1+y2
∴-1k=-13x0y0
又y0=k（x0+1）
∴x0=-32，y0=-k2．…（2分）
∵中点T（x0，y0）在椭圆内部，
∴x03+y02＜1⇒34+k24＜1⇒k2＜1
∴k∈（-1，0）∪（0，1）．
（3）将y=k（x+1）（k≠0）代入椭圆C：x23+y2=1中，整理得（1+3k2）x2+6k2x+3k2-3=0．
设R（x3，y3），S（x4，y4）．
则x3+x4=-6k21+3k2，x3x4=3k2-31+3k2．
∴y3y4=k2（x3+1）（x4+1）=k2（x3+x4+x3x4+1）=-2k21+3k2…（2分）
∴BR•BS-|a|2=(x3-1)(x4-1)+y3y4-3-9k2
=x3x4-（x3+x4）+1+y3y4-3-9k2
=3k2-31+3k2+6k21+3k2+1-2k21+3k2-3-9k2=10k2-21+3k2-3-9k2=103-[1631+3k2+3(1+3k2)]≤103-216=-143．
当且仅当1631+3k2=3(1+3k2)，即k2=19∈（0，1）时等号成立．
此时，直线l的方程为y=（x+1）．…（2分）