Question

定积分问题？

这个2I是怎么得到的？那个1+e^x有什么公式吗？

Answer 1

这个函数其实蛮好找的:
1、先分析下定积分存在的充要条件:在积分区间内有界，并且连续或者存在有限个间断点。
2、题目当中那个函数明显就存在无数个间断点。
举个例子的话 就把握住间断点个数就可以了。
3、例子可以这样举: y=sinx 定义域 (x=⅛π+kπ)
y=0 定义域 (x≠⅛π+kπ)
这个例子一样是有无数个间断点。
所以定积分一样不存在。 所以定积分存在的充要条件是有界 并且存在有限个间断点。

Answer 2

已知I＝∫sin²x/(1+e^-x)dx，令
x＝-t，此时上下限进行调换，
I＝-∫sin²(-t)/(1+e^t)dt
再把上下限调换，此时就跟之前的上下限一样了，
＝∫sin²x/(1+e^x)dx
把两个I相加，根据积分的加法律，
2I＝∫sin²x/(1+e^-x)dx+∫sin²x/(1+e^x)dx
＝∫e^x·sin²x/(1+e^x)+sin²x/(1+e^x)dx
＝∫sin²x(e^x+1)/(1+e^x)dx
＝∫sin²xdx。