Question

^_^➒p'y

椭圆离心率的问题,
1.设椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,且PF1*PF2=0（PF1和PF2上面是向量的符号）,tan∠PF1F2=2,则该椭圆的离心率____
2.设椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为（√5-1）/2,F、A分别是它的左焦点和右顶点,B是它的短轴的一个端点,则∠ABF等于_____
3.若直线y=kx+1始终和椭圆x^2/5+y^2/m=1有公共点,则m的取值范围是____

Answer 1

第一题PF1与PF2是点乘吧,向量点乘为0说明垂直,叉乘为0说明平行,依题意,只能是垂直.如此,题目很简单
∵PF1*PF2=0
∴F1PF2为直角三角形,∠F1PF2=90°
由tan∠PF1F2=2得PF2/PF1=2,即PF1=2PF2,由勾股定理易求F1F2=√5PF2
2c=F1F2=√5PF2
2a=PF1+PF2=3PF2
离心率e=2c/2a=√5/3
第二题在草稿上画图算很快,但是说出来就很麻烦啦.简单说一下：
离心率e=c/a=,我们就假设c=（√5-1）,a=2
假设椭圆的中心为O,则
BF=a=2；FO=c=√5-1；对直角三角形BFO,勾股定理求得b²=BO²=a²-c²=2√5-2
AO=a=2,对直角三角形ABO,勾股定理求得BA²=b²+a²=2√5+2
FA=a+c=√5+1
∵BA²+BF²=a²+2√5+2=2√5+6
FA²=（√5+1）²=2√5+6=BA²+BF²
∴∠ABF=90°
第三题跟离心率无关,直线永远经过（0,1）点,只要短轴大于1,就能满足题意