Question

1求幂级数收敛域但级数缺项问题； 2求和函数为何先求导再积分； 3线性代数求特征值特征向量的问题。

1）比如 ∑AnX^2n， 因为缺奇数项不能直接用系数比值的方法直接求收敛半径，所以可令y=X^2 转化为 ∑AnY^n标准形式，如果是奇数型怎么代换？
题目：(n从1到∞)∑(nX^2n-1)/[4^n+(-3)^n] ，这道题求收敛半径，X的2n-1次方怎么换成标准形式？看答案时，用的是另一种方法，比较简单，但是不太理解，如下：
当x=0时级数必然收敛，当x≠0时，设Un(x)为级数，则lim(n→∞)│Un+1(x)/Un(x)│=1/4x^2（1/4倍的x平方）,用比值判别法知道，当1/4x^2＜1时幂级数绝对收敛，而当1/4x^2＞1时幂级数发散，故幂级数的收敛半径为2.
我就不太清楚，考试时什么类型的题目用哪个方法好点？对于比值法不是比较有局限性么？
2）我也知道就得这样做，但有点钻牛角尖，想知道为什么还就他妈的得这么做，而且求和函数在级数的收敛区间内随便逐项求导或积分，为什么依然还是原级数的和函数？
ps.对于和函数求积分时，积分上下限怎么确定的？
3）求特征值时，令(λE-A)x=0，但是λE为何写前面，这样的话矩阵内不是每一项都要变号么，用A-λE更简单些啊，为什么练习上都是用的(λE-A)x=0来求特征向值？
大学的时候就没学好，现在复习考研，发现好多薄弱的地方，求详解。。万分感谢。

Answer 1

从你的叙述来看很明显基础不扎实，基本的概念和结论也没掌握，很多地方连讲都讲不清楚，所以你现在首要要做的是好好把书看一遍，而非做题。

具体的回答
1)答案用的就是D'Alembert判别法，Un(x)是级数的一般项。一般来讲D'Alembert判别法适用的范围已经很大了，只能用Cauchy-Hadamard公式而不能用D'Alembert判别法的例子并不多。

如果仅仅想知道只有奇数次项的幂级数怎么处理，最简单的办法就是求导，这样都变成偶数次而且收敛半径不变。

2)问得莫名其妙
至于积分上下限，其中一个选取常数，另一个选成变量x就行了，没有特别的。很多书上没有强调上下限，写例子的时候经常是0积到x而正好F(0)=0，所以就不仔细写了。

3)两种都可以，纯粹是习惯问题，很多地方确实写成A-λE。
写成λE-A当然也有好处，det(λE-A)一定是首一多项式。