Question

设函数f(x)在区间[0,1]上连续，证明∫[∫f(t)dt]dx=∫(1-x)f(x)dx

前面第一个积分符号积分区间是[0,1],第二个积分符号积分区间是[0,x],第三个积分符号积分区间是[0,1].

Answer 1

设函数f(x)在区间[0,1]上连续,证明∫[∫f(t)dt]dx=∫(1-x)f(x)dx
前面第一个积分符号积分区间是[0,1],第二个积分符号积分区间是[0,x],第三个积分符号积分区间是[0,1].
调换一下积分次序即可.
对式子左边先对x积分,后对t
积分,则为∫[∫f(t)dx]dt.前面第一个积分符号积分区间是[0,1],第二个积分符号积分区间是[t,1].
f(t)对先x积分得到的结果就是f(t)*(1-t).现在就只是关于t式子,用x替换t不影响定积分的结果,替换之后就是原式右边

Answer 2

调换一下积分次序即可。
对式子左边先对x积分，后对t
积分，则为∫[∫f(t)dx]dt.前面第一个
积分符号
积分区间是[0,1],第二个积分符号积分区间是[t,1].
f(t)对先x积分得到的结果就是f(t)*(1-t)。现在就只是关于t式子,用x替换t不影响
定积分
的结果，替换之后就是原式右边