Question

这道圆锥曲线题能不能用参数方程解?

已知直线y=k(x-2)(k>0)与抛物线C:y²=8x相交于A、B两点,F为C的焦点若|FA|=2|FB|,则k=? 如果能用参数方程解的请写过程,常规方法不用写出来,我未思考常规方法.

Answer 1

这是参数方程解法，
已知直线方程y=k(x-2),直线过(2,0)点即抛物线y^2=8x的焦点F,据此设直线的参数方程为x=2+tcosa,y=tsina,
联立方程组x=2+tcosa
y=tsina
y^2=8x
得sina^2
t^2
–
8cosat
–
16=0
解方程得t=4(cosa+1)/sina^2或4(cosa-1)/sina^2
a为直线倾斜角，0≤a＜π,
当0≤a＜π/2,
0＜cosa≤1,
1＜cosa+1≤2,
-1＜cosa-1≤0,
1＜∣cosa+1∣≤2,
∣cosa-1∣=1-
cosa＜1,
此时∣t1∣=4(cosa+1)/sina^2＞∣t2∣=4(1-cosa)/sina^2,
由已知得∣FA∣=2∣FB∣,
∣tA∣=2∣tB∣,
∣tA∣=∣t1∣,
∣tB∣=∣t2∣,即∣t1∣=2∣t2∣，
4(cosa+1)/sina^2=2×[4(1-cosa)/sina^2]，
cosa+1=2(1-cosa),
cosa=1/3,
sina=2√2/3,tga=2√2,
此时直线方程为y=2√2(x-2),
当π/2≤a＜π,
-1＜cosa≤0,
0＜cosa+1≤1,
-2＜cosa-1≤-1，
∣cosa+1∣≤1,
∣cosa-1∣=1-
cosa，1≤1-
cosa＜2,
此时∣t1∣=4(cosa+1)/sina^2＜∣t2∣=4(1-cosa)/sina^2，
∣tA∣=∣t2∣,
∣tB∣=∣t1∣,即∣t2∣=2∣t1∣，
2×[4(cosa+1)/sina^2]=4(1-cosa)/sina^2，
2(cosa+1)=1-cosa,
cosa=-1/3,
sina=2√2/3,tga=-2√2,
此时直线方程为y=-2√2(x-2),
故所求直线方程为y=2√2(x-2)或y=
-2√2(x-2)。
答案不一定对，希望有所帮助。