Question

这个高等代数线性空间的题目如何解答？

学渣求指导，谢谢

Answer 1

设f(x), g(x)是R[x]上两个函数，则显然f(A)，g(A)属于V

a) f(x)+g(x)属于R[x],从而f(A)+g(A)属于V
b) kf(x)属于R[x]，从而kf(A)属于V
所以V是一个R上的线性空间
由于A是对角矩阵，可以知道对于任意属于R[x]的f(x), f(A)=diag(f(1), f(omega), f(omega^2))
特别的，当f(x)=x^n时，f(A)可以表示成统一形式：
f(A)=diag(1, a +bomega + c omega^2,a + c omega + b omega^2)
当n=3k时，omega^n =1， omega^(2n) = 1, a=1, b=c=0

当x=3k+1时，omega^n = omega, omega^(2n) = omega^2, a=0,b=1,c=0

当x=3k+2时，omega^n = omega^2, omega^(2n)=omega, a=0, b=0, c=1

则设f(A)=p(n)E+q(n)A +r(n)A^2
得到p(n)=a, q(n)=b, r(n)=c
f(A)=(p(n), q(n), r(n))T (E,A,A^2)

所以当f(x)=x^n时，f(A)可以由E,A,A^2线性表示
这样对于R[x]上任意的f(x)，由于f(x)可以由X=(1,x,x^2,...,x^n)线性表示，设组合系数为C=(c0,c1,...,cn)T

所以f(A)=C P (E,A,A^2)
其中P是一个(n+1) *3 矩阵，第k列为(p(k), q(k), r(k))T

追问

你好，为什么
当f(x)=x^n时，f(A)可以表示成统一形式：
f(A)=diag(1, a +bomega + c omega^2,a + c omega + b omega^2)
这一步不太理解，可以解释一下吗？谢谢

追答

因为只有n=3k, n=3k+1, n=3k+2三种形式，且三种形式都可以表示成这个统一形式啊