Question

数学题求证

设f(x)在负无穷到正无穷区间 单调，且满足方程:
f(x+y/2)=[f(x)+f(y)]/2 ,xy都是任意数值
求证：f(x)=f(0)+f(1)x

Answer 1

x=x+1 y=1-x f(1)=[f(x+1)+f(1-x)]/2
x=x+1 y=x-1 f(x)=[f(x+1)+f(x-1)]/2
x=x-1 y=1-x f(0)=[f(x-1)+f(1-x)]/2
①-③+②可得
f(1)-f(0)+f(x)=f(x+1)

f(x+1)-f(x)=f(1)-f(0)

f(x)-f(x-1)=f(1)-f(0)
……
f(3)-f(2)=f(1)-f(0)
f(2)-f(1)=f(1)-f(0)

f(x)-f(1)=(x-1)[f(1)-f(0)]

Answer 2

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