Question

高中数学必修5不等式与函数的问题。

已知关于x的二次函数f(x)=ax^2-2x+2（a为常数）对于满足1＜x＜4的一切x的值都有f(x)＞0，求常数a的取值范围。

Answer 1

讨论开口方向，图形结合。
Δ=4-8a，对称轴x=1/a
①前提是a＜0，即抛物线开口朝下，也就是说当x在(1,4)的范围的时候，图像在x轴的上方。此时Δ＞0，f（1）＞0，f（4）＞0，由三个式子解得，无解
②前提是a＞0,
i)Δ＜0时，符合此条件的图像一直在x轴的上方，所以符合要求，此时解得a＞1/2
ii)Δ≥0时，解得0＜a≤1/2.即a≤1/2
此时的对称轴x=1/a应该是在（2,0）的右边。根据画图可以看出，应列式如下
对称轴1/a≥4，解得0＜a≤1/4
特殊值f（4）＞0，解得a＞3/4,两解综合空解
③前提是a＝0
，此时是直线方程，代入两头会看到不符合条件的
综上可得，只有当a＞1/2时符合条件