Question

高数，求方程y=1+x.e^y确定y是x的函数，求二级导数y''|x=0

Answer 1

y"=2e^2

x=0

y=1

两边同时对x求导：y'=e^y(1+xy')

y'=e

再次对x求导：y”=e^y[y'(1+xy')+y'+xy"]

y"=2e^2

函数单调性

一阶导数表示的是函数的变化率，最直观的表现就在于函数的单调性定理：设f(x)在[a,b]上连续，在（a,b)内具有一阶导数，那么：

（1）若在(a,b)内f'(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形单调递增；

（2）若在(a,b)内f’(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形单调递减；

（3）若在(a,b)内f'(x)=0,则f(x)在[a,b]上的图形是平行（或重合）于x轴的直线，即在[a,b]上为常数。

Answer 2

两边同时微分得：
d(x+y)=d(e^(xy))
则dx+dy=e^(xy)d(xy)
dx+dy=e^(xy)(ydx+xdy)
dx+dy=ye^(xy)dx+xe^(xy)dy
移项合并：(xe^(xy)-1)dy=(1-ye^(xy))dx
将dx除到左边，(xe^(xy)-1)除到右边，得：dy/dx=(1-ye^(xy))/(xe^(xy)-1)
另外可以利用原方程将e^(xy)换成x+y

Answer 3

x=0
y=1
两边同时对x求导：y'=e^y(1+xy')
y'=e
再次对x求导：y”=e^y[y'(1+xy')+y'+xy"]
y"=2e^2