Question

高数敛散性？

Answer 1

部分和收敛于 1，就说明级数收敛于 1 。 因为级数收敛与否，就看部分和是否有极限，且部分和的极限就是级数的和。 等于 0 才收敛是指一般项，而不是部分和。并且一般项趋于 0 ，级数也未必收敛。
先判断这是正项级数还是交错级数
　　一、判定正项级数的敛散性
　　1.先看当n趋向于无穷大时,级数的通项是否趋向于零（如果不易看出,可跳过这一步）.若不趋于零,则级数发散；若趋于零,则
　　2.再看级数是否为几何级数或p级数,因为这两种级数的敛散性是已知的,如果不是几何级数或p级数,则
　　3.用比值判别法或根值判别法进行判别,如果两判别法均失效,则
　　4.再用比较判别法或其极限形式进行判别,用比较判别法判别,一般应根据通项特点猜测其敛散性,然后再找出作为比较的级数,常用来作为比较的级数主要有几何级数和p级数等.
　　二、判定交错级数的敛散性
　　1.利用莱布尼茨判别法进行分析判定.
　　2.利用绝对级数与原级数之间的关系进行判定.
　　3.一般情况下,若级数发散,级数未必发散；但是如果用比值法或根值法判别出绝对级数发散,则级数必发散.
　　4.有时可把级数通项拆分成两个,利用“收敛+发散=发散”“收敛+收敛=收敛”判定.
　　三、求幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域
　　1.若级数幂次是按x的自然数顺序递增,则其收敛半径由或求出,进而可以写出收敛区间,再考虑区间端点处数项级数的敛散性可得幂级数的收敛域.
　　2.对于缺项幂级数或x的函数的幂级数,可根据比值判别法求收敛半径,也可作代换,换成t的幂级数,再求收敛半径.
　　四、求幂级数的和函数与数项级数的和
　　1.求幂级数的和函数主要先通过幂级数的代数运算、逐项微分、逐项积分等性质将其化为几何级数的形式,再求和.
　　2.求数项级数的和,可利用定义求出部分和,再求极限；或转化为幂级数的和函数在某点的函数值.
　　五、将函数展开为傅里叶级数
　　将函数展开为傅里叶级数时需根据已有公式求出傅里叶系数,这时可根据函数的奇偶性简化系数的计算,然后再根据收敛性定理写出函数与其傅里叶级数之间的关系.

Answer 2

可以用比值审敛法

答案如图所示

Answer 3

首先要了解收敛数列的性质：

收敛数列唯一
收敛数列是有界数列
对收敛数列增加或者删除有限项或改变有限项的值，得到的数列仍然收敛到同一个数
收敛数列具有保号性和保不等式性
收敛数列满足四则运算法则
满足夹逼定理
那么如何证明数列收敛呢？
上面的性质是收敛数列可以得到的结论，也就是收敛数列的的充分性（收敛数列是条件，性质是结论，条件推出结论[充分性]）。

下面介绍利用以下性质证明数列收敛

Cauchy收敛原理

单调有界原理
有界的单调数列必收敛
Stolz定理

列紧性定理（Bolzano-Weierstrass）1815-1897
从任何有界数列中必可选出一个收敛的子列

如何证明数列发散？

根据对偶法则以及数列极限定义可以得出数列发散的定义

无界数列一定发散
有一个发散的子列，数列一定发散
有两个子列收敛于不同极限值，那么数列发散
Cauchy收敛准则也可以判断数列发散