不定积分S(x+1)/[x(1+xe^x)]dx
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简单计算一下即可，答案如图所示
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∫
(x+1)/[x(1+xe^x)]
dx
=∫
(x+1+xe^x-xe^x)/[x(1+xe^x)]
dx
=∫
(1+xe^x)/[x(1+xe^x)]
dx
+
∫
(x-xe^x)/[x(1+xe^x)]
dx
=∫
1/x
dx
+
∫
(1-e^x)/(1+xe^x)
dx
=ln|x|
+
∫
(1+xe^x-xe^x-e^x)/(1+xe^x)
dx
=ln|x|
+
∫
(1+xe^x)/(1+xe^x)
dx
-
∫
(xe^x+e^x)/(1+xe^x)
dx
=ln|x|
+
∫
1
dx
-
∫
1/(1+xe^x)
d(xe^x)
=ln|x|
+
x
-
ln(1+xe^x)
+
C
【数学之美】团队为您解答，若有不懂请追问，如果解决问题请点下面的“选为满意答案”。
(x+1)/[x(1+xe^x)]
dx
=∫
(x+1+xe^x-xe^x)/[x(1+xe^x)]
dx
=∫
(1+xe^x)/[x(1+xe^x)]
dx
+
∫
(x-xe^x)/[x(1+xe^x)]
dx
=∫
1/x
dx
+
∫
(1-e^x)/(1+xe^x)
dx
=ln|x|
+
∫
(1+xe^x-xe^x-e^x)/(1+xe^x)
dx
=ln|x|
+
∫
(1+xe^x)/(1+xe^x)
dx
-
∫
(xe^x+e^x)/(1+xe^x)
dx
=ln|x|
+
∫
1
dx
-
∫
1/(1+xe^x)
d(xe^x)
=ln|x|
+
x
-
ln(1+xe^x)
+
C
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