在三角形ABC中,求证:sinA+sinB+sinC大于2
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题目应该是在锐角三角形中。
诚如是,则解答如下:
先证明sinA+sinB>1+cosC。
由A、B是锐角得A-B<C及B-A<C,可得cos[(A-B)/2]>cos(C/2)。又sin[(A+B)/2]=cos(C/2),所以sinA+sinB-(1+cosC)=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]-2cos²(C/2)=2cos(C/2){cos[(A-B)/2]-cos(C/2)}>0,所以sinA+sinB>1+cosC。
所以sinA+sinB+sinC>1+cosC+sinC=1+√2sin(C+π/4)。
C是锐角,所以π/4<C+π/4<3π/4,sin(C+π/4)>√2/2,1+√2sin(C+π/4)>2。结论成立。
诚如是,则解答如下:
先证明sinA+sinB>1+cosC。
由A、B是锐角得A-B<C及B-A<C,可得cos[(A-B)/2]>cos(C/2)。又sin[(A+B)/2]=cos(C/2),所以sinA+sinB-(1+cosC)=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]-2cos²(C/2)=2cos(C/2){cos[(A-B)/2]-cos(C/2)}>0,所以sinA+sinB>1+cosC。
所以sinA+sinB+sinC>1+cosC+sinC=1+√2sin(C+π/4)。
C是锐角,所以π/4<C+π/4<3π/4,sin(C+π/4)>√2/2,1+√2sin(C+π/4)>2。结论成立。
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