Question

这个情况为什么不能用等价无穷小？

感谢！

Answer 1

你要整体考虑指数

这里的指数写成一个整体是

exp[ln(1+t)/t^2-1/t]

很显然这是带分数的加减，不能单独对ln(1+t)进行等价无穷小

这个，通分以后用洛必达上下求导，最后得到的指数是-0.5

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这个题也不能直接用重要极限，想用重要极限必须极限的四则运算成立，得出1肯定错了而不是答案错了，高数学习一定要注意适用条件、适用范围

四则运算成立的条件是每部分函数极限存在，除法还要求分母不为0

为了简便表示，e^x为函数A，后部分为函数B，可以看成是lim B/A的形式

很多人忽视了这一点，如果对B用重要极限，就意味着你默认了lim B/A=lim B/lim A，但是显然A的极限是∞，所以lim B/A≠lim B/lim A

不能用四则运算意味着不能把这两项单独拆开算，自然也得不到正确结果

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关于等价无穷小的适用问题，可以参考网页链接

加减不是一定不能用，而是要判断情况，如果高数不是游刃有余的状态，建议默认等价无穷小不适用于加减法

Answer 2

不能代换，是因为e的两个指数是要相加的。相加后，分子是ln(1+t)-t，这样代换就相当于是把ln(1+t)这一部分换掉了。加号减号连接的部分是不能代换的。

Answer 3

加减项中如果每一项都是无穷小，各自用等价无穷小替换以后得到的结果不是0，则是可以替换的。用泰勒公式求极限就是基于这种思想。
举一个例子让你明白：
求当x→0时，(tanx-sinx)/(x^3)的极限。
用洛必塔法则容易求得这个极限为1/2。
我们知道，当x→0时，tanx～x，sinx～x，若用它们代换，结果等于0，显然错了，这是因为x-x=0的缘故；
而当x→0时，tanx～x+(x^3)/3，sinx～x-(x^3)/6，它们也都是等价无穷小（实际上都是3阶麦克劳林公式），若用它们代换：tanx-sinx～(x^3)/2≠0，就立即可以得到正确的结果。

追问

这个我知道，可以用泰勒展开用在加减法，可是这道题为什么不能用等价无穷小呢，替换了之后极限也存在呀

Answer 4

等价毕竟不是相等，等价代换必然会有精度损失，取极限时有些精度损失会传导到结果。你试试用二阶泰勒公式换看看