求满足微分方程f'(x)+xf'(-x)=x的函数
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微分方程f'(x)+xf'(-x)=x ①
对任意的x均成立.将x替换成-x,得
f'(-x)+(-x)f'(x)=-x
两边都乘以x,得
xf'(-x)-x^2f'(x)=-x^2 ②
①-②得
(1+x^2)f'(x)=x+x^2
f'(x)=(x^2+1+x-1)/(1+x^2)=1+x/(x^2+1)-1/(1+x^2)
两边对x积分,得
f(x)=x+1/2*ln(x^2+1)-arctanx+c
对任意的x均成立.将x替换成-x,得
f'(-x)+(-x)f'(x)=-x
两边都乘以x,得
xf'(-x)-x^2f'(x)=-x^2 ②
①-②得
(1+x^2)f'(x)=x+x^2
f'(x)=(x^2+1+x-1)/(1+x^2)=1+x/(x^2+1)-1/(1+x^2)
两边对x积分,得
f(x)=x+1/2*ln(x^2+1)-arctanx+c
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