Question

（1）已知抛物线y2=2px（p＞0），过焦点F的动直线l交抛物线于A，B两点，...

（1）已知抛物线y2=2px（p＞0），过焦点F的动直线l交抛物线于A，B两点，为坐标原点，求证：OA•OB为定值； （2）由（1）可知：过抛物线的焦点F的动直线l交抛物线于A，B两点，存在定点P，使得PA•PB为定值．请写出关于椭圆的类似结论，并给出证明．

Answer 1

解：（1）若直线l垂直于x轴，则A(p2，p)，B(p2，-p).OA•OB=(p2)2-p2=-34p2．…（2分）
若直线l不垂直于轴，设其方程为y=k(x-p2)，A（x1，y1）B（x2，y2）．
由y=k(x-p2)y2=2px⇒k2x2-p(2+k2)x+p24k2=0x1+x2=(2+k2)k2p，x1•x2=p24．…（4分）
∴OA•OB=x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1-p2)(x2-p2)=(1+k2)x1x2-p2k2(x1+x2)+p2k24=(1+k2)p24-p2k2•(2+k2)pk2+p2k24=-34p2．
综上，OA•OB=-34p2为定值．…（6分）
（2）关于椭圆有类似的结论：
过椭圆x2a2+y2b2=1(a＞0，b＞0)的一个焦点F的动直线l交椭圆于A、B两点，存在定点P，使OA•OB为定值．
证明：不妨设直线l过椭圆x2a2+y2b2=1的右焦点F（c，0）（其中c=a2-b2）
若直线l不垂直于轴，则设其方程为：y=k（x-c），A（x1，y1）B（x2，y2）．
由y=k(x-c)x2a2+y2b2=1⇒(a2k2+b2)x2-2a2ck2x+(a2c2k2-a2b2)=0得：
所以x1+x2=2a2ck2a2k2+b2，x1•x2=a2c2k2-a2b2a2k2-b2．…（9分）
由对称性可知，设点P在x轴上，其坐标为（m，0）．
所以PA•PB=（x1-m）（x2-m）+y1y2
=（1+k2）x1x2-（m+ck2）（x1+x2）+m2+c2k2
=（1+k2）a2c2k2-a2b2a2k2-b2-（m+ck2）2a2ck2a2k2+b2+m2+c2k2
=(a4-a2b2-b4+a2m2-2a2cm)k2+(m2-a2)b2a2k2+b2
要使PA•PB为定值，
只要a4-a2b2-b4+a2m2-2a2cm=a2（m2-a2），
即m=2a4-a2b2-b42a2c=(2a2+b2)c2a2=(3-e2)c2
此时PA•PB=m2-a2=(2a2+b2)2c2-4a64a4=b4(c2-4a2)4a4…（12分）
若直线l垂直于x轴，则其方程为x=c，A(c，b2a)，B(c，-b2a)．
取点P((2a2+b2)c2a2，0)
有PA•PB=[(2a2+b2)c2a2-c]2-b4a2=b4(c2-4a2)4a4．…（13分）
综上，过焦点F（c，0）的任意直线l交椭圆于A、B两点，存在定点P((2a2+b2)c2a2，0)
使PA•PB=b4(c2-4a2)4a4．为定值．…（14分）