Question

已知正项等比数列an的前n项和为sn,且2a2=s2+1/2

证明等差数列
已知正项数列an的前n项和为sn,且sn与2的等比中项等于an与2的等差中项.
求证：an为等差数列

Answer 1

证明：根据题意
sn：x=x：2 ,得到 x^2=2Sn
an-x =x-2 得到 x=an/2 +1
所以 （an/2 +1)^2 =2Sn
当n=1是 S1=a1
(a1/2 +1)^2 =2a1
(a1/2 -1)^2 =0
a1=2
当n=2时,(a2/2 +1)^2 =2(a1+a2)
(a2/2 -1)^2 =2a1=4
因为等比中项又是an与2的等差中项,所以只能取正
a2=6
S2=6+2=8
当n=3时,(a3/2 -1)^2 =2（a1+a2)=16
a3=10
s3=18
推测 an=2+4(n-1)
假设 an时时成立,现在证明an+1时成立
[ a(n+1)/2 -1]^2 =2(a1+a2+a3+...+an)
=2(a1+an)n/2
=n*[2+ 2+4(n-1)]
=4n^2
同样,只能取正号
所以 a(n+1)/2 -1 =2n
a(n+1) =4n+2 =2+4(n+1-1)
所以an+1也满足.
综上,证明到 an=2+4(n-1)
an+1-an =2+4n -2+2(n-1) =4 为常数
所以an为等比数列