Question

n²(arctan

证明：arctan(n+1)-arctan(n)=arctan{1/[1+n(n+1)]}
对1/（1+x^2),求n到n+1的积分（其中n远大于1）
等于arctan(n+1)-arctan(n),这个对吗
如果对,如何证明上述结果

Answer 1

∫[n,n+1]1/（1+x^2)dx
=arctanx[n,n+1]
=arctan(n+1)-arctan(n)
你的积分过程没错.
对于arctan(n+1)-arctan(n)=arctan{1/[1+n(n+1)]},假设正确
两边求正切得
tan[arctan(n+1)-arctan(n)]=tanarctan{1/[1+n(n+1)]}
即[tanarctan(n+1)-tanarctan(n)]/[1+tanarctan(n+1)*tanarctan(n)]=tanarctan{1/[1+n(n+1)]}
1/[1+(n+1)n)]=1/[1+n(n+1)]
这个是成立的,你证明的没有错.