已知函数f(x)的定义域为R,且对任意x,y属于R都有f(x+y)=f(x)+f(y)

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承华泣羽彤
2020-03-29 · TA获得超过3644个赞
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函数f(x)的定义域为R,且对任意x,y属于R,都有f(x+y)=f(x)+f(y)
令:x=y=0代入可得:f(0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0
令y=-x代入可得:f(x-x)=f(x)+f(-x),
即f(0)=f(x)+f(-x),
从而
f(x)+f(-x)=0
所以:f(-x)=-f(x)
设任意实数x1,x2,且x1<x2
则有:f(x2)-f(x1)=f(x2)+[-f(x1)]=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)
由已知条件,x>0时,有f(x)<0;
现在x2-x1>0,所以得到f(x2-x1)<0,
即f(x2)-f(x1)<0,由于x1<x2,且都是实数。
f(x)在R上是减函数
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