Question

)已知函数,. 已知函数.(1)若的图象在点处的切 线与直线垂直,求实数a的值;(2)

已知函数 ，函数 的图象在点 (2 ， f (2)) 处的切线与直线 y = 垂直，其中实数 a 是常数， e 是自然对数的底数 ． （ Ⅰ ）求实数 a 的值； （ Ⅱ ）若关于 x 的不等式 有解，求实数 t 的取值范围 ． 数学 gnrmfmqn 2017-01-30

Answer 1

（ Ⅰ ） ∵ 的图象在点 (2 ， f (2)) 处的切线与直线 y = 垂直 ∴ （ Ⅱ ）由（ Ⅰ ）知 ∵ ∴ 关于 x 的不等式 有解 x >1 ，使得 ，即 ， 即 ，即 成立 （ * ） 令 ，则 （ 1 ）若 t ≤ e ，则当 x >1 时， ， ∴ 在 [1 ， +∞) 上是增函数 ∴ 当 x >1 时， ∴ 此时（ * ）不成立，不符合条件． （ 2 ）若 t >e ，则由 =0 ，得 x =ln t >1 当 x ∈ (1 ， ln t ) 时， ， ∴ 在 [1 ， ln t ) 上是减函数 ∴ 当 x ∈ (1 ， ln t ) 时， ， ∴ 此时（ * ）成立，符合条件 ． 综上，实数 t 的取值范围是（ e ， +∞ ） ．