已知函数f(x)=lnx/x,判断函数的单调性……

已知函数f(x)=lnx/x(1),判断函数的单调性(2)若y=xf(x)+1/x的图像总在直线y=a的上方,求实数a的取值范围(3)若函数f(x)与g(... 已知函数f(x)=lnx/x (1),判断函数的单调性 (2)若y=xf(x)+1/x的图像总在直线y=a的上方,求实数a的取值范围 (3)若函数f(x)与g(x)=x/6-m/x+2/3的图像有公共点,且在公共点处的切线相同,求实数m的值 展开
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在同安飞莲
2019-03-08 · TA获得超过3841个赞
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易得x的取值范围为x>0;
(1)求出f(x)的导数为f’(x)=(1-lnx)/x^2
令f’(x)>=0,得0<x<=e
令f’(x)<0,得x>e
所以原函数在(0,e]上单调增,在(e,正无穷)上单调减
我这边正无穷无法输
(2)y=xf(x)+1/x即y=lnx+1/x(x>0)
于是y'=(1/x)-1/x^2,同上述方法一样可得,
y=xf(x)+1/x在[1,正无穷)上单调增
在(0,1)上单调减
所以可得该函数最小值在x=1处取得,且为1

y=xf(x)+1/x的图像总在直线y=a的上方,所以有a<1
(即小于函数的最小值,应该不可写等于号
(3)g(x)=x/6-m/x+2/3的导函数为:g'(x)=
1/6+m/x^2
f(x)与g(x)=x/6-m/x+2/3的图像有公共点,可得方程:lnx/x=x/6-m/x+2/3
(i)
在公共点处的切线相同,即说明在公共点出两函数的导数值相等,于是有:
(1-lnx)/x^2=1/6+m/x^2
(ii)
于是由(i)/x
+(ii)可解的,x=1,m=5/6
(x=1为公共点处x的值)
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