Question

求积分，过程

Answer 1

你好，请采纳！
要计算∫<0，+∞>e^(-x^2)dx
可以通过计算二重积分:∫∫<D>e^(-x^2-y^2)dxdy.那个D表示是由中心在原点,半径为a的圆周所围成的闭区域.下面计算这个二重积分:解:在极坐标系中,闭区域D可表示为:0≤r≤a,0≤θ≤2π∴∫∫<D>e^(-x^2-y^2)dxdy=∫∫<D>e^(-r^2)*rdrdθ=∫<0,2π>[∫<0,a>e^(-r^2)*rdr]dθ=-(1/2)e^(-a^2)∫<0,2π>dθ=π(1-e^(-a^2))下面计算∫<0，+∞>e^(-x^2)dx
;设D1={(x,y)|x^2+y^2≤R^2,x≥0,y≥0}.D2={(x,y)|x^2+y^2≤2R^2,x≥0,y≥0}.S={(x.y)|0≤x≤R,0≤y≤R}.可以画出D1,D2,S的图.显然D1包含于S包含于D2.由于e^(-x^2-y^2)>0,从而在这些闭区域上的二重积分之间有不等式:∫∫<D1>e^(-x^2-y^2)dxdy<∫∫<S>e^(-x^2-y^2)dxdy<∫∫<D2>e^(-x^2-y^2)dxdy.∵∫∫<S>e^(-x^2-y^2)dxdy=∫<0,R>e^(-x^2)dx*=∫<0,R>e^(-y^2)dy=(∫<0,R>e^(-x^2)dx)^2.又应用上面得到的结果:∫∫<D>e^(-x^2-y^2)dxdy=π(1-e^(-a^2))∴∫∫<D1>e^(-x^2-y^2)dxdy=(π/4)(1-e^(-R^2)).∴∫∫<D2>e^(-x^2-y^2)dxdy=(π/4)(1-e^(-2R^2)).于是上面的不等式可写成:(π/4)(1-e^(-R^2))<(∫<0,R>e^(-x^2)dx)^2<(π/4)(1-e^(-2R^2)).令R→+∞,上式两端趋于同一极限π/4,从而∫<0，+∞>e^(-x^2)dx
=sqrt(π)/2.其中:sqrt(π)表示根号π.

Answer 2

简单计算一下，详情如图所示