Question

数列收敛有哪些条件？

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Answer 1

若数列{an}的各项满足an≤an+1(an≥an+1)，则称{an}为递增(递减)数列。递增数列和递减数列统称为单调数列。

定理2.9(单调有界定理)：在实数系中，有界的单调数列必有极限，且其极限就是它的上(下)确界.

证：若{an}为有上界的递增数列. 由确界原理可知，{an}有上确界，记

a=sup {an}. 则对ε>0，有{an}中的某一项aN，使得a-ε<aN.

∵{an}递增，∴当n≥N时，有a-ε<aN≤an.

又{an}有上界，∴对一切an，都有an≤a<a+ε.

综上，当n≥N时，有a-ε<an <a+ε, ∴lim(n→∞)an=a.

若{an}为有下界的递减数列. 由确界原理可知，{an}有下确界，记

b=inf {an}. 则对ε>0，有{an}中的某一项aN，使得b+ε>aN.

∵{an}递减，∴当n≥N时，有b+ε>aN≥an.

又{an}有下界，∴对一切an，都有an≥b>b-ε.

综上，当n≥N时，有b-ε>an >b+ε, ∴lim(n→∞)an=b.

例：证明数列√2, √(2+√2) ,…√(2+√(2+…+√2) )(n个根号) …收敛，并求其极限.

证：记an=√(2+√(2+…+√2) ) ，且a1=√2<2, 可设an<2，则有

a_(n+1)=√(2+an )<√(2+2)=2，从而对一切n，有an<2，即{an}有界。

又a1=√2>0，a2=√(2+a1 )>√2=a1>0，可设an>a_(n-1)，即an-a_(n-1)>0；

则a_(n+1)-an=√(2+an)-√(2+a_(n-1))=(an-a_(n-1))/(√(2+a_n)+√(2+a_(n-1)))>0，

∴{an}递增.

由单调有界定理可知，数列{an}有极限，记为a.

由a_(n+1)^2=2+an，对两边取极限得

a^2=2+a，解得a= -1或a=2. 由数列极限的保不等式性知，a= -1不合理，舍去.

∴lim( n→∞)√(2+√(2+…+√2)) =2.

定理2.10(柯西收敛准则)：数列{an}收敛的充要条件是：对任何ε>0，存在正整数N，使得当n,m>N时，有|an-am|<ε.

柯西准则的条件称为柯西条件.

例：证明：任一无限十进制小数a=0.b1b2…bn…的n位不足近似(n=1,2,…)所组成的数列：

b1/10,b1/10+b2/10^2 ,…,b1/10+b2/10^2 +…+bn/10^n ,…

满足柯西条件(从而必收敛)，其中bk为0,1,2,…,9中的一个数，k=1,2,….

证：记an=b1/10+b2/10^2 +…+bn/10^n , 不妨设n>m，则对任给的ε>0，

要使|an-am|=b_(m+1)/10^(m+1) +b_(m+2)/10^(m+2) +…+bn/10^n

≤9/10^(m+1) (1+1/10+…+1/10^(n-m-1) )

=9/10^(m+1)((1-1/10^(n-m))/(1-1/10))=1/10^m (1-1/10^(n-m))

<1/10^m <1/m<ε=1/(1/ε),

只要取N=1/ε，则对一切n>m>N，有|an-am|<ε. 可见该数列满足柯西条件.