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x+y+z=16的正整数解得个数
可以理解为16个形状大小相同的小球排成一排
现在要把它隔成3堆,每堆至少一个小球,有多少种隔法,对应正整数解的个数
16个小球中间有15个空位,设2个隔板即可分成3堆
C(15,2)=105
可以理解为16个形状大小相同的小球排成一排
现在要把它隔成3堆,每堆至少一个小球,有多少种隔法,对应正整数解的个数
16个小球中间有15个空位,设2个隔板即可分成3堆
C(15,2)=105
追问
问一下原题的非负整数解是多少
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一种解法:
假设一共有16个球,算上两端一共有17个空位,我们在其中任选两个(可以重复)放入挡板,可以将球分成1堆,2堆或3堆。我们根据挡板的位置用0”补全不存在的堆“,保证挡板还是将他们分成了三堆,使他们分别对应x,y,z的非负整数解(例如三堆分别为为”0,16,0“)
当两个板在同一个空位时,共17种情况
当两个板不在同一个空位时,共C(17,2)=136种情况
所以结果就是136+17=153种情况
另一种解法:
原题等价于(x+1)+(y+1)+(z+1)=19,令x+1=a,y+1=b,z+1=c,实际上就是再求a+b+c=19的整数解。
仿照第一问可以直接得到结果:C(18,2)=153
假设一共有16个球,算上两端一共有17个空位,我们在其中任选两个(可以重复)放入挡板,可以将球分成1堆,2堆或3堆。我们根据挡板的位置用0”补全不存在的堆“,保证挡板还是将他们分成了三堆,使他们分别对应x,y,z的非负整数解(例如三堆分别为为”0,16,0“)
当两个板在同一个空位时,共17种情况
当两个板不在同一个空位时,共C(17,2)=136种情况
所以结果就是136+17=153种情况
另一种解法:
原题等价于(x+1)+(y+1)+(z+1)=19,令x+1=a,y+1=b,z+1=c,实际上就是再求a+b+c=19的整数解。
仿照第一问可以直接得到结果:C(18,2)=153
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解,分析用控空法。
(1)n=C4(2)=4x3÷2=6(种)
(2)n=C6(2)=6x5÷2=15(种)
(1)n=C4(2)=4x3÷2=6(种)
(2)n=C6(2)=6x5÷2=15(种)
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