Question

问一下这题怎么解？

非负整数解有多少个（有过程）

Answer 1

x+y+z=16的正整数解得个数
可以理解为16个形状大小相同的小球排成一排
现在要把它隔成3堆，每堆至少一个小球，有多少种隔法，对应正整数解的个数
16个小球中间有15个空位，设2个隔板即可分成3堆
C(15,2)=105

追问

问一下原题的非负整数解是多少

Answer 2

一种解法：
假设一共有16个球，算上两端一共有17个空位，我们在其中任选两个（可以重复）放入挡板，可以将球分成1堆，2堆或3堆。我们根据挡板的位置用0”补全不存在的堆“，保证挡板还是将他们分成了三堆，使他们分别对应x,y,z的非负整数解（例如三堆分别为为”0，16，0“）
当两个板在同一个空位时，共17种情况
当两个板不在同一个空位时，共C(17,2)=136种情况
所以结果就是136+17=153种情况
另一种解法：
原题等价于（x+1）+（y+1）+（z+1）=19，令x+1=a，y+1=b，z+1=c，实际上就是再求a+b+c=19的整数解。
仿照第一问可以直接得到结果：C(18,2)=153

Answer 3

解，分析用控空法。
(1)n=C4(2)=4x3÷2=6(种)
(2)n=C6(2)=6x5÷2=15(种)