一阶线性微分方程问题,求高手帮忙。

请问有没有人可以帮我解一下这道题?dv/dt+0.1v=10-10e^(-0.1t)v(0)=0如果可以的话麻烦请把解答的步骤也一同写下来,非常感谢!... 请问有没有人可以帮我解一下这道题? dv/dt+0.1v=10-10e^(-0.1t) v(0)=0 如果可以的话麻烦请把解答的步骤也一同写下来,非常感谢! 展开
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仍凡桑弘
2020-08-15 · TA获得超过1162个赞
知道小有建树答主
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求特解:dv/dt+0.1v=10-10e^(-0.1t)
v(0)=0
解:先求一阶线性齐次方程dv/dt+0.1v=0的通解。
分离变量得dv/v=-0,1dt,积分之,得lnv=-0.1t+lnC₁,故v=e^(-0.1t+lnC₁)=C₁e^(-0.1t);
将C₁换成t的函数u,则有v=ue^(-0.1t)..........(1)
将(1)的两边对t取导数得:
dv/dt=(du/dt)e^(-0.1t)+u[-0.1e^(-0.1t)]=(du/dt)e^(-0.1t)-0.1ue^(-0.1t)...........(2)
将(1)和(2)代入原方程得:
(du/dt)e^(-0.1t)-0.1ue^(-0.1t)+0.1ue^(-0.1t)=10-10e^(-0.1t)
化简得(du/dt)e^(-0.1t)=10-10e^(-0.1t)
即有du/dt=10e^(0.1t)-10
故du=[10e^(0.1t)-10]dt=10[e^(0.1t)-1]dt
积分之得u=∫10[e^(0.1t)-1]dt=∫10[e^(0.1t)dt-∫10dt=100∫e^(0.1t)d(0.1t)-10t=100e^(0.1t)-10t+C
代入(1)式即得通解:v=[100e^(0.1t)-10t+C]e^(-0.1t);将初始条件v(0)=0代入得0=100+C,
故C=-100;于是得特解:v=[100e^(0.1t)-10t-100]e^(-0.1t)
即v=100-(10t+100)e^(-0.1t)为所求。
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