Question

为什么矩阵迹相同是矩阵相似的必要条件?

Answer 1

由高阶多项式的韦达定理可以导出矩阵的特征值之和等于矩阵的迹，所以特征值一样，迹肯定一样，相反迹一样只能说明特征值的和一样，不能代表每个特征值都一样。

4可以等于1+3也可以等于2+2。

矩阵的迹就是主对角元元素之和，两矩阵的迹相同显然就是两个矩阵各自的主对角元元素之和是相等的。且矩阵的迹有以下常用性质：迹是所有对角元的和，迹是所有特征值的和。某些时候也利用tr(AB)=tr(BA)来求迹。

奇异值分解非常有用，对于矩阵A(p*q)，存在U(p*p)，V(q*q)，B(p*q)（由对角阵与增广行或列组成），满足A = U*B*V，U和V中分别是A的奇异向量，而B是A的奇异值。AA'的特征向量组成U，特征值组成B'B，A'A的特征向量组成V，特征值（与AA'相同）组成BB'。