Question

化二次型为标准型的正交变换唯一吗?

Answer 1

正交变换不唯一。

C^TAC=C^-1AC=B（B是以A的特征值为主对角线的对角阵）就行。但要注意特征值的排列顺序和正交矩阵中对应的特征向量的排列顺序必须一致。

正交变换下得到的标准形在不考虑平方项系数的顺序时是唯一的，平方项的系数必定是A的特征值， 顺序无所谓， 但必须与矩阵P中的列向量，即特征向量，相对应。

分类

设A是n维欧氏空间V的一个正交变换σ在一组标准正交基下的矩阵。

若丨A丨=1，则称σ为第一类正交变换，包括空间内的平移、旋转以及二者的复合。

若丨A丨=-1，则称σ为第二类正交变换，包括空间内的反射以及反射变换与第一类正交变换的复合。

第一类正交变换不改变直角坐标系的定向，即左（右）手系变换后仍是左（右）手系。

注意：丨A丨=±1是变换σ成为正交变换的必要不充分条件。