Question

如何证明连续函数在开区间有界？

Answer 1

证明有界的思路是：

存在一个正数M，使对所有x，满足｜f(x)|<M。证明无界的思路是：对任意正数M，总存在x，使得｜f(x)|>M。

证明方法：

1.理论法：若f(x)在定义域［a,b]上连续，或者放宽到常义可积（有限个第一类间断点），则f(x)在［a,b]上必然有界。

2.计算法：切分（a,b)内连续。

limx→a+f(x)存在limx→a+f(x)存在；limx→b−f(x)存在limx→b−f(x)存在则f(x)在定义域［a,b]内有界。

3.运算规则判定：在边界极限不存在时。

有界函数±有界函数＝有界函数（有限个，基本不会有无穷个，无穷是个难分高低的状态）。

有界＊有界＝有界。

判断开区间上连续函数的有界性：

首先因为函数在开区间上连续，所以在开区间内部的任一闭区间上函数都有界。

能不能再扩大到整个开区间上也有界，关键是看函数在右端点处的左极限和左端点处的右极限。

判断有界无界主要就看趋于无穷，或者趋于无定义的点或边界看看极限情况。