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x²+y²≤2x+2y
(x－1)²+(y－1)²≤2
化成极坐标x=1+ρcosθ，y=1+ρsinθ，ρ∈[0，√2]，θ∈[0，2π] (极点在(1，1)处)
∫∫D (x²+xy+y²)dxdy
=∫(0，2π) dθ∫(0，√2) (3+3ρcosθ+3ρsinθ+ρ²+1/2 ρ²sin2θ)ρdρ
=∫(0，2π)dθ ∫(0，√2) (3+ρ²)ρdρ
=2π(3/2 ρ²+1/4 ρ^4)|(0，√2)
=2π(3+1/4×4)
=8π
(x－1)²+(y－1)²≤2
化成极坐标x=1+ρcosθ，y=1+ρsinθ，ρ∈[0，√2]，θ∈[0，2π] (极点在(1，1)处)
∫∫D (x²+xy+y²)dxdy
=∫(0，2π) dθ∫(0，√2) (3+3ρcosθ+3ρsinθ+ρ²+1/2 ρ²sin2θ)ρdρ
=∫(0，2π)dθ ∫(0，√2) (3+ρ²)ρdρ
=2π(3/2 ρ²+1/4 ρ^4)|(0，√2)
=2π(3+1/4×4)
=8π
追问
为什么不能直接代x=1+√2cosθ和y=1+√2sinθ
追答
积分区域是整个圆区域，而不是只是边界
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