Question

如图，AB是⊙O的直径，DB切⊙O于点B，C是圆上一点，过点C作AB的垂线，交

AB于点P，与DO的延长线交于点E，且ED平行AC，连接CD。 (1)求证:CD是⊙O的切线； (2)若AB=12，OP:AP=1:2，求ED的长

Answer 1

（1）证明：连接oc，因为OA=OC,所以∠OAC=∠ACO，∵AC∥OD，∴∠CAO=∠BOD,∠ACO=∠COD，∴∠BOD=∠COD，所以△BOD
全等于
△COD（SAS）,∴∠OBD=∠OCD=90°所以CD是圆O的切线（2）解：∵AB=12,AO=BO,∴AO=BO=6,因为OP:AP=1:2,∴AP=4.OP=2,∵AC∥ED,∠EPO=∠CPO,∴△EPO相似于△APC,∴AP：PO=EO:AC,∵PC=
根号
下OC²-OP²=4倍根号2，∴AC=根号下AP²+PC²=4倍根号3，所以EO=2根号3，∵EC∥BD，∠EOP=∠BOD，∴△EOP相似于△OBD,所以EO:OD=OP:OB=1:3,∴OD=6倍根号三，∴ED=EO+OD=8倍根号3