Question

请问，如何将微分与积分从函数图像上建立起联系? 即怎么通过图象这种方式理解积分与微分互为逆运算呢?

请问，微分的几何意义应该怎样正确表述呢？
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我在百度搜索“微分的几何意义”，搜索结果就是这样描述微分的几何意义的，：“df（x）是自变量线性变化，当dx→0时，df（x）等价于自变量的曲线变化，即df（x）≈Δf（x）”（如第一张图）并没有提及有关微分与面积的问题。【另附积分的几何意义(第二张图)】
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如果说，微分没有具体的几何意义，或者说微分就是其中一个小矩形的面积，那我就不太明白了：

微分，即df(x)，df(x)＝f'(x)dx

积分，即∫f'(x)dx，∫f'(x)dx＝∫df(x)＝f(x)＋C

【①如果微分，即df(x)代表其中一个小矩形的面积，那么很好理解，积分，即∫f'(x)dx就是所有小矩形面积的总和。我也就不需要再问了。

②但是，微分，即df(x)并不代表一个小矩形的面积，它代表含义是：当Δx→0时，df(x)≈Δf(x)，是以直代曲的含义。】

所以↓↓↓

《单从字面意义来看，似乎不是互逆的，如果从符号语言角度来看，即【df(x)＝f'(x)dx】和【∫f'(x)dx＝∫df(x)＝f(x)＋C】似乎也不能看成是互逆的：

⑴从微分运算角度来看：
如果积分运算是微分运算的逆运算，→就要求df(x)与f(x)是等价的；
→它们不是等价的，

【df(x)】代表某个小区间函数值的变化量，即df(x)≈Δf(x)；

【f(x)】代表的是整个区间(a,b)上的函数图像，并不是两个端点值之差，
即f(x)非f(b)－f(a)。

⑵从积分运算角度来看：
如果微分运算是积分运算的逆运算，→就要求f'(x)dx与∫f'(x)dx是等价的，
→它们并不等价，

【∫f'(x)dx】表示区间上所有小矩形的面积之和；

【f'(x)dx】不代表区间上某一个小矩形的面积，代表的是变化量。

》←这是我最不理解的地方。
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这里我刚学，不太懂，希望能得到好心人详细的指教，不胜感激。





Answer 1

(∫f(x)dx)'=f(x)，∫f'(x)dx=f(x)+c

从图像上理解，导数是切线斜率，表示变化率，微分是函数增量，积分是函数图形与x轴围成的区域面积函数，

追问

谢谢您的解答，
如果积分与导数的几何意义完全无关，那么它们的运算式里为什么还会包含彼此呢?

现在我迫切地想知道也是我最纠结的：导数与一个小矩形面积到底有什么关系呢?就是像上面两张图那样，如何将导数与积分的关系体现在一张图上?谢谢。

也就是说，如何将导数，微分，积分之间的关系同时如何体现在同一张图上?谢谢

追答

给你一个函数，你可以求出导函数，而求积分过程，则是给你一个未知函数，我们知道它的导函数，求未知函数，

给你一个函数f，同时求导g，求积分h，差辈了！h是爷爷，g是孙子，f是儿子

Answer 2

很简单：1）他们不是普通的“运算”你不要用加和减是逆运算的角度去看他们
2）他们彼此并不可逆
简单的说，“导数”（而不是微分）是“不定积分”的近似“逆”运算，说近似是因为一个导数的逆运算对应无数个不定积分。

追问

谢谢您的解答，
不仅仅是否是逆运算的问题，

如果积分与导数的几何意义完全无关，那么它们的运算式里为什么还会包含彼此呢?

现在我迫切地想知道：导数与一个小矩形面积到底有什么关系呢?就是像上面两张图那样，如何将导数与积分的关系体现在一张图上?谢谢。

追答

怎么可能完全无关呢？考虑函数f(x)和对f'(x)的积分，f'(x)这个导函数的值是对f'(x)的定积分中小曲边矩形的高啊，而对导函数的定积分（也就是总面积）就是f(x)的函数值在区间结尾的值减去区间开头的值
我觉得你的麻烦在于你连基础的概念还没用完全吃透就尝试想各种花式理解，而又没有耐心

追问

谢谢您的解答，

所以说积分与微分完全无关，只与导数有关对吗?

这样的话我就明白了。

等一下，积分明明是f'(x)dx也就是导数乘Δx(dx＝Δx)的和

如果积分只与导数有关那么积分的表达式应该是∫f'(x)而不是∫f'(x)dx，因为积分可以与导数建立起联系，但不能与微分建立起联系

∫'f(x)才能代表您刚才说的意思，f'(x)代表高。
但∫'f(x)dx却不能，因为微分不能代表高。

奥，我好像搞错了。。。谢谢你的回答，我明白了!